CONFORMIDADE EM PROJEÇÕES ESTEREOGRÁFICAS

Resumo

A projeção estereográfica: Π:S2\{𝑁} → 𝜋 é a aplicação da superfície esférica S2, menos um ponto N, ao plano , que é perpendicular à reta NO, sendo O o centro da esfera. Essa projeção é definida da seguinte forma: dado um ponto P pertencente a S2 \{N}, traça-se a reta PN, com
isso o ponto Q= 𝛱(P) é o ponto de intersecção de PN com o plano π. Tendo isso em vista, este trabalho vem fazer um estudo das propriedades dessa projeção, para que seja possível trabalhar com ela sem maiores preocupações, com relação às transformações que a aplicação faz. Com isso, propõe-se a formalização da projeção achando a lei de formação de Π e da sua inversa, Π−1, para que seja possível o estudo das propriedades principais. Para esse fim faz-se uso da álgebra vetorial da seguinte maneira, a partir de N, constrói-se uma reta que passa pelo ponto genérico P=(x,y,z), pertencente a 𝑆2\{N}, e com isso aplica-se a condição do plano π para se achar o parâmetro da reta em função das coordenadas de P, de tal forma que ao substituir esse parâmetro na reta obtêm-se os pontos que pertencem simultaneamente a ao plano e a mesma, ou seja, obtemos a lei da aplicação Π que pode ser vista na Equação 1.Π: 𝑆2\{𝑁} → 𝜋(𝑥, 𝑦, 𝑧) → (𝑥1−𝑧,𝑦1−𝑧) (1) Para se achar a sua inversa, basta construir a reta QN, sendo Q um ponto genérico do plano π, e plicar a condição de pertencer a esfera para se achar a lei da aplicação -1, que pode ser vista na Equação 2. Π−1: π →𝑆2\{𝑁} (𝑢, 𝑣) → (2𝑦𝑢2+𝑣2+1,2𝑦𝑢2+𝑣2+1,𝑢2+𝑣2−1𝑢2+𝑣2+1(2)
Com isso é possível verificar que tanto a Π como a Π−1 são contínuas, mostrando dessa forma o homeomorfismo dessa projeção. Assim, pode-se fazer o estudo mais detalhado quanto à conformidade dessa aplicação, ou seja, o fato de que ela preserva ângulos após a sua aplicação. Essa propriedade é abordada utilizando a geometria Euclidiana clássica. Contudo, pode-se perceber que além da conformidade da projeção estereográfica, tem-se também que círculos na superfície esférica que passam pelo ponto N projetam-se como retas no plano π e que círculos na superfície esférica que não passam pelo ponto N projetam-se como círculos no plano π.